Методика расчёта допустимой нагрузки балки полки

СМ-03, СМ-04Р — труба 40×20×2; СМ-05Р — труба 50×30×2 · сталь 08пс, на ребро · примеры для длин 500, 1000 и 1500мм

Редакция от 29.09.2026. Формулы сверены с действующим расчётом сайта, все числа пересчитаны и совпадают с таблицей нагрузок; добавлены балка СМ-05Р (§10) и итог полки с узлом стойка–балка (§11). Сечение 40×20×2 — по фактическому контуру с замеренным радиусом гиба (редакция 22.09.2026).

Что считается в этом документе. Балка полки (труба на ребро), два критерия — прочность (текучесть) и прогиб L/250, запас 1,3. На полке две балки, работающие параллельно. Разбор §8 ведётся на одну балку 40×20×2 (СМ-03 и СМ-04Р); в сводной таблице §9 и в §10 (СМ-05Р, балка 50×30×2) приведены и значения на полку — именно их подставляет сайт. Настил, стойка и узел стойка–балка здесь не считаются; допустимая нагрузка полки — минимум из настила, балки, стойки и узла (§11).

1. Расчётная модель

Балка полки — квадратная/прямоугольная профильная труба, установленная "на ребро" (большая сторона сечения — вертикально, в направлении действия нагрузки). Балка рассматривается как одна свободно опёртая труба пролётом L, равным длине балки (не приведённая длина, а фактический пролёт между стойками). Расчёт ведётся на одну трубу — итоговая допустимая нагрузка полки, где балок обычно две, получается суммированием отдельно.

Для балки, как и для настила, проверяются два независимых критерия, и лимитирует тот, что даёт меньшее значение:

Прочность — труба не должна разрушиться (превысить предел текучести стали);
Жёсткость (прогиб) — труба не должна прогнуться больше L/250 (стандартный строительный критерий "не более 1/250 пролёта").

2. Сечение 40×20×2 с учётом радиусов гиба

Наружная высота сечения H=40мм (вертикально), ширина B=20мм, стенка t=2мм. Внутренние размеры: h=H−2t=36мм, b=B−2t=16мм.

Профильная труба — гнутая: её углы не острые, а скруглённые и снаружи, и изнутри. Школьная формула прямоугольного контура I=(B·H³−b·h³)/12 такое сечение описывает неточно — она "дорисовывает" в четырёх наружных углах металл, которого в реальной трубе нет, и потому завышает и момент инерции, и момент сопротивления. Поэтому характеристики здесь взяты не из формулы для острых углов, а посчитаны по фактическому контуру.

Откуда взят радиус. Радиус наружного угла замерен владельцем 21.09.2026 радиусным шаблоном на трубе из текущей партии: для трубы 40×20×2 он составил R = 2,5 мм (внутренний радиус r = R − t = 0,5 мм). Это замер конкретной партии, а не справочная величина: при смене партии или поставщика трубы радиус нужно перепроверить тем же шаблоном и, если он окажется другим, пересчитать характеристики сечения и всю таблицу нагрузок.

Сечение со скруглениями посчитано численным интегрированием: контур разбивается по высоте, на каждом уровне берётся фактическая ширина металла (в зоне скругления она меньше габарита на величину, задаваемую дугой радиуса R), из наружного контура вычитается внутренний с радиусом r = R − t. Приводить здесь громоздкие формулы дуг не нужно — важны метод и результат:

Характеристики сечения 40×20×2 при R = 2,5 мм, на ребро

I = 42 498,3 мм⁴ · W = I / (H/2) = 42 498,3 / 20 = 2 124,9 мм³
A = 218,85 мм² · погонная масса 1,718 кг/м

Разница со "школьным" сечением с острыми углами — −4,41 % и по I, и по W (W пропорционален I при той же высоте H). Ровно на эти 4,41 % ниже и все килограммы в этом документе, и вся таблица допустимых нагрузок на сайте: она посчитана по замеренному сечению, а не по идеализированному. Если где-то встретится расчёт по острым углам, его числа будут примерно на 4,5 % оптимистичнее приведённых здесь.

3. Два метода приложения нагрузки

Метод А — равномерно распределённая нагрузка по длине балки

Груз считается равномерно распределённым вдоль всей длины балки. Максимальный изгибающий момент — в середине пролёта:

Изгибающий момент, метод А

M_max = P · L / 8

Метод Б — коробка 300×300мм в середине балки

Груз сосредоточен в коробке размером 300мм вдоль балки, расположенной по центру пролёта — частичная равномерная нагрузка длиной a=300мм:

Изгибающий момент, метод Б

M_max = P · (2L − a) / 8, a = 300 мм

(вывод формулы приведён в методике расчёта настила — тот же принцип частичной равномерной нагрузки, симметричной относительно середины пролёта).

4. Материал

Сталь 08пс: предел текучести σ_т = 196 МПа, модуль упругости E = 200 000 МПа (одинаков для любой конструкционной стали).

5. Проверка по прочности

Из условия σ=M_max/W ≤ σ_т:

Метод А

P_{прочн,А} = 8·σ_т·W / L

Метод Б

P_{прочн,Б} = 8·σ_т·W / (2L − 300)

6. Проверка по жёсткости (прогиб ≤ L/250)

Для равномерной нагрузки (метод А) максимальный прогиб посередине пролёта: δ=5PL³/(384EI). Приравнивая δ=L/250, выражаем предельный вес:

Метод А

P_{прогиб,А} = 384·E·I / (1250·L²)

Для частичной нагрузки (метод Б) точная формула прогиба громоздкая; в этой методике принято консервативное упрощение — прогиб считается по формуле точечной нагрузки в центре (δ=PL³/48EI), что даёт чуть заниженный (более безопасный) результат по сравнению с точным распределённым пятном 300мм:

Метод Б (приближённо, точечная нагрузка)

P_{прогиб,Б} = 48·E·I / (250·L²)

7. Итоговая допустимая нагрузка и запас

P_raw = min( P_{прочность} ; P_прогиб )

Расчётный предел с запасом

P_расч. = P_raw / 1.3

Запас 1,3 у балки накладывается на меньший из двух критериев (в том числе на прогиб). На полке две балки делят груз поровну, поэтому сайт считает сразу на полку — те же формулы с удвоенным числителем (L — ширина полки, g = 9,81):

На полку (две балки), как в расчёте сайта

Метод А: min( 16·σ_т·W / L ; 2·384·E·I / (1250·L²) ) / g / 1,3
Метод Б: min( 16·σ_т·W / (2L − 300) ; 96·E·I / (250·L²) ) / g / 1,3

Важное наблюдение по методике. На коротких пролётах балка обычно ломается (по прочности) раньше, чем успевает заметно прогнуться, а на длинных — наоборот, прогиб достигает предела раньше разрушения. Расчётная точка перехода для метода А у балки 40×20×2 — пролёт 783,7мм (у 50×30×2 — 979,6мм, §10): короче — лимитирует прочность, длиннее — лимитирует прогиб. Это видно и в примерах ниже. Сама точка перехода от радиусов гиба не зависит: и прочность, и прогиб уменьшились на одни и те же 4,41 %, поэтому пролёт, на котором они сравниваются, остался прежним.

8. Разбор расчёта — три длины балки

Везде подставлены действующие характеристики сечения: W = 2124,9 мм³ и I = 42 498,3 мм⁴. Контрольные промежуточные величины: предельный прогиб L/250 равен 2,0 / 4,0 / 6,0 мм для L = 500 / 1000 / 1500 мм; там, где лимитирует прочность (L = 500 мм), напряжение в середине пролёта выходит ровно на σ_т = 196 МПа, а там, где лимитирует прогиб, оно до предела текучести не доходит — 153,6 МПа при L = 1000 мм и 102,4 МПа при L = 1500 мм (метод А); по методу Б соответственно 163,2 и 115,2 МПа.

Случай 1 — L = 500 мм

Метод	Прочность, кг	Прогиб, кг	Лимитирует	Raw, кг	С запасом ÷1,3, кг
А (равномерно)	679.3	1064.7	прочность	679.3	522.5
Б (коробка 300×300)	485.2	665.4	прочность	485.2	373.2

Метод А: P_прочн=8×196×2124.9/500=6664 Н=679.3кг; P_прогиб=384×200000×42498.3/(1250×500²)=10444 Н=1064.7кг → лимитирует прочность.
Метод Б: 2L−300=700; P_прочн=8×196×2124.9/700=4760 Н=485.2кг; P_прогиб=48×200000×42498.3/(250×500²)=6528 Н=665.4кг → лимитирует прочность.

Случай 2 — L = 1000 мм

Метод	Прочность, кг	Прогиб, кг	Лимитирует	Raw, кг	С запасом ÷1,3, кг
А (равномерно)	339.6	266.2	прогиб	266.2	204.7
Б (коробка 300×300)	199.8	166.4	прогиб	166.4	128.0

Метод А: P_прочн=8×196×2124.9/1000=3332 Н=339.6кг; P_прогиб=384×200000×42498.3/(1250×1000²)=2611 Н=266.2кг → лимитирует прогиб (переход через критическую точку 783.7мм уже произошёл).
Метод Б: 2L−300=1700; P_прочн=8×196×2124.9/1700=1960 Н=199.8кг; P_прогиб=48×200000×42498.3/(250×1000²)=1632 Н=166.4кг → лимитирует прогиб.

Случай 3 — L = 1500 мм

Метод	Прочность, кг	Прогиб, кг	Лимитирует	Raw, кг	С запасом ÷1,3, кг
А (равномерно)	226.4	118.3	прогиб	118.3	91.0
Б (коробка 300×300)	125.8	73.9	прогиб	73.9	56.9

Метод А: P_прочн=8×196×2124.9/1500=2221 Н=226.4кг; P_прогиб=384×200000×42498.3/(1250×1500²)=1160 Н=118.3кг → лимитирует прогиб.
Метод Б: 2L−300=2700; P_прочн=8×196×2124.9/2700=1234 Н=125.8кг; P_прогиб=48×200000×42498.3/(250×1500²)=725 Н=73.9кг → лимитирует прогиб.

9. Сводная таблица (на одну балку и на полку)

Длина L	Метод А, на балку	Метод Б, на балку	Что лимитирует	На полку (две балки), А / Б
500мм	522.5 кг	373.2 кг	прочность	1045.04 / 746.46 кг
1000мм	204.7 кг	128.0 кг	прогиб	409.49 / 255.93 кг
1500мм	91.0 кг	56.9 кг	прогиб	181.99 / 113.75 кг

Все значения уже с запасом (÷1,3). Последняя колонка — предел полки по балкам, который сайт берёт из таблицы нагрузок (глубина полки на балку не влияет). Сверка: для ширин 1000 и 1500мм значения 409,49 / 255,93 и 181,99 / 113,75 кг совпадают с таблицей нагрузок сайта (СМ-03 и СМ-04Р) до 0,01 кг; ширина 500мм в таблицу не входит и приведена для иллюстрации режима «лимитирует прочность». Итоговая цифра в карточке может быть меньше, если на этой ширине лимитирует настил, стойка или узел стойка–балка (например, 1045 кг по балкам при L = 500мм всё равно ограничены узлом — 600 кг, §11).

Вывод: с ростом пролёта допустимая нагрузка падает нелинейно и резко — при увеличении L втрое (500→1500мм) расчётный предел падает более чем в 5.74 раз (методА) и в 6.56 раз (методБ), потому что после перехода в режим "лимитирует прогиб" (после 783,7мм) чувствительность к длине резко возрастает — прогиб растёт пропорционально L³ при том же полном весе, а не линейно, как момент при проверке на прочность.

Важно. На полке стоят две балки, работающие параллельно — допустимая нагрузка полки по балкам, при условии что груз делится между ними поровну, вдвое больше значения на одну балку: например 409,49 кг на полке шириной 1000 мм при равномерном грузе и 255,93 кг при коробке 300×300 в центре. Итоговая допустимая нагрузка полки — минимум из настила, балки (эта методика), стойки и узла стойка–балка (§11). Всё изложенное — инженерный расчёт по замеренной геометрии, а не протокол испытаний.

10. СМ-05Р: балка 50×30×2

У СМ-05Р балка — труба 50×30×2 на ребро: высота H=50мм (вертикально), ширина B=30мм, стенка t=2мм. Радиус наружного угла на этой трубе не замерялся — принят R = 2,7 мм (как у трубы 30×30×2 по замеру 21.09.2026); после замера характеристики и таблицу нужно пересчитать. Сечение посчитано тем же численным интегрированием по контуру, что и в §2. Материал, формулы §3–§7 и запас 1,3 — те же.

Характеристики сечения 50×30×2 при R = 2,7 мм, на ребро

I = 98 098,5 мм⁴ · W = I / (H/2) = 98 098,5 / 25 = 3 923,9 мм³
A = 298,16 мм² · погонная масса 2,341 кг/м · относительно острых углов −3,45 %

Точка перехода «прочность → прогиб» для метода А — пролёт 979,6мм. По методу Б при L = 1000мм ещё лимитирует прочность, при 1500мм — уже прогиб. Напряжение в середине пролёта при предельном грузе: 196,0 МПа при L = 500мм (оба метода); 192,0 (А) и 196,0 МПа (Б) при L = 1000мм; 128,0 (А) и 144,0 МПа (Б) при L = 1500мм.

Длина L	Метод	Прочность, кг	Прогиб, кг	Лимитирует	На балку ÷1,3, кг	На полку, кг
500мм	А	1254,4	2457,6	прочность	964,9	1929,80
500мм	Б	896,0	1536,0	прочность	689,2	1378,43
1000мм	А	627,2	614,4	прогиб	472,6	945,22
1000мм	Б	368,9	384,0	прочность	283,8	567,59
1500мм	А	418,1	273,1	прогиб	210,0	420,10
1500мм	Б	232,3	170,7	прогиб	131,3	262,56

L=500: А: 8×196×3923.9/500=12305 Н; 384×200000×98098.5/(1250×500²)=24109 Н. Б: 8×196×3923.9/700=8790 Н; 48×200000×98098.5/(250×500²)=15068 Н.
L=1000: А: 6153 Н и 6027 Н. Б: 8×196×3923.9/1700=3619 Н и 3767 Н.
L=1500: А: 4102 Н и 2679 Н. Б: 8×196×3923.9/2700=2279 Н и 1674 Н.

Колонки «прочность» и «прогиб» — на одну балку, без запаса. Значения на полку для ширин 1000 и 1500мм совпадают с таблицей нагрузок сайта для СМ-05Р до 0,01 кг. По сравнению с балкой 40×20×2 предел полки по балкам выше в 2,3 раза при ширине 1000 и 1500мм (метод А). При ширине 1000мм по методу А балка СМ-05Р держит больше 600 кг на полку — там предел полки определяет уже узел стойка–балка или настил (§11).

11. Итог полки: настил, балка, стойка, узел

Допустимая нагрузка полки на сайте — минимум из четырёх ограничителей, отдельно для метода А и метода Б:

настил — предел панели = min(прочность с запасом 1,3; прогиб L/150); метод А — панель × число панелей, метод Б — одна панель (методика расчёта настила);
балка — две балки полки, этот документ;
стойка — устойчивость по Эйлеру, доля на одну полку при данном числе полок;
узел стойка–балка — не больше 150 кг на один зацеп балки в пазу стойки, на полке 4 зацепа (2 балки × 2 конца): не больше 600 кг на полку при любой раскладке, размере, настиле и числе полок. Решение владельца 29.09.2026, действует до лабораторных испытаний узла.

Запас 1,3 применяется к стойке, балке и прочности настила. Прогиб настила L/150 и предел узла 600 кг на запас не делятся.

Пример (таблица сайта): СМ-03, высота 2000, ширина 1000, глубина 500, фанера 18, 5 полок.
Метод А: настил 330,28×2 = 660,56; балка 409,49; стойка 872,62; узел 600 → 409,49 кг (балка).
Метод Б: настил 247,15; балка 255,93; стойка 872,62; узел 600 → 247,15 кг (настил).
СМ-05Р, 2000×1000×400, фанера 18, 5 полок, метод А: настил 526,98×2 = 1053,96; балка 945,22; стойка 1358,83; узел 600 → 600 кг (узел).

СМ-03, СМ-04Р, СМ-05Р · Методика расчёта балки полки · Редакция 29.09.2026 · Сталь 08пс · 40×20×2, R 2,5 мм (замер 21.09.2026): I 42 498,3 мм⁴, W 2 124,9 мм³ · 50×30×2, R 2,7 мм (принят): I 98 098,5 мм⁴, W 3 923,9 мм³ · Метод А (равномерно) и Метод Б (коробка 300×300) · Запас 1,3 · Инженерный расчёт, а не протокол испытаний

← Назад к методике расчёта нагрузки на сайте